Conjecture 1

Sau khi học xong môn Linear Algebra, mình có nhận xét về một không gian N chiều như sau.
Nếu để ý, rõ ràng chúng ta có thể nhận thấy rằng thành phần hệ tọa độ Decas trong Không gian 2 chiều là 2 đường thẳng vuông góc nhau tại O, Hay đó là sự tổ hợp của 2 Không gian 1 chiều. Với điểm O, mình tạm cho đó là Không gian 0 chiều.
KG 2 chiều = 2(KG 1 chiều) + 1(KG 0 chiều)

Với Không gian 3 chiều, cần 3 đường thẳng vuông góc từng đôi một lập thành hệ tọa độ Decas trong Không gian 3 chiều. Với 3 đường thẳng như vậy, ta lập được 3 mặt phẳng hay 3 Không gian 2 chiều.
KG 3 chiều = 3(KG 2 chiều) + 3(KG 1 chiều) + 1(KG 0 chiều)

Nếu để ý ta thấy rằng hệ số gắn liền với các Không gian trên tuân theo quy luật của Tam giác Pascal, hay Hệ thức Newton.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
..............................

Vậy nếu áp dụng nhận xét trên vào 1 Không gian Decas 4 chiều thì sao? Ta áp dụng thử:
KG 4 chiều = 4(KG 3 chiều) + 6(KG 2 chiều) + 4(KG 1 chiều) + 1(KG 0 chiều)

Có vẻ việc áp dụng trên là thỏa đáng vì trong Không gian Decas 4 chiều, ta cần 4 đường thẳng vuông góc từng đôi một.

Với Không gian 5 chiều thì sao? có lẽ nó sẽ được biểu diễn như sau:
KG 5 chiều = 5(KG 4 chiều) + 10(KG 3 chiều) + 10(KG 2 chiều) + 5(KG 1 chiều) + 1(KG 0 chiều)

Dường như đến đây ta cảm thấy có một quy luật hợp lý cho việc cấu thành 1 Không gian N chiều.
Nếu ta gọi R là 1 Không gian và n là số chiều của Không gian đó, thì dường như quy luật trên áp dụng vào R sẽ là:
(R+1)^n = nCn*R^n + nC(n-1)*R^(n-1)+..............+ nC1*R^1 + nC0*R^0

Vậy đối với Không gian 1 chiều là 1 đường thẳng, nhận xét trên cũng thỏa với nó.
Vậy Nhận xét trên có đúng không?

Thật sự là nhận xét trên đúng.

Nếu ta gọi v là vector trong Không gian N chiều. với v = [v1, v2, v3, v4, ................, vn]
Vậy số Không gian cơ sở m chiều trong Không gian n chiều sẽ là việc tổ hợp m vector cơ sở của v. (với 0 < m < n)
Vậy số không gian m sẽ là: nCm.
Hay nhận xét trên đã được chứng tỏ.

Vậy từ kết quả trên, ta lại có một nhận xét lý thú mới.

Trong không gian 4 chiều, như đã nói, ta có:
KG 4 chiều = 4(KG 3 chiều) + 6(KG 2 chiều) + 4(KG 1 chiều) + 1(KG 0 chiều)

Biết rằng các Không gian đồng quy tại O, và đó là Không gian 0 chiều.
2 Không gian 2 chiều giao nhau tại 1 Không gian 1 chiều
Vậy 2 KHông gian 3 chiều giao nhau tại mấy không gian 2 chiều?

Nếu nhìn từ kết quả trong không gian 4 chiều, ta thấy rằng, các không gian đó là những khơng gian cơ sở.
Hay chúng đôi một phân biệt nhau.
Từ 4 ** của một tứ giác, ta có tất cả 6 cạnh hay tổ hợp của 5C2 cạnh.
Điều đó cũng đúng với từ 4 KG 1 chiều ta tạo được 6 KG 2 chiều phân biệt và 4 KG 3 chiều hay 4C3 KG phân biệt.

Vậy đối với Không gian 3 chiều thì sao?
Dường như ta chấp nhận tổ hợp 3 KG 2 chiều phân biệt tạo thành 1 KG 3 chiều.
Nhưng khi ta áp dụng điều đó vào số lượng KG 3 chiều và 2 chiều trong KG 4 chiều trên lại có xung đột.
Nếu tổ hợp 3 KG 2 chiều tạo thành 1 KG 3 chiều thì
từ 6 KG 2 chiều tổ hợp sẽ tạo thành 6C3 = 20 KG 3 chiều.
Nhưng chúng ta chỉ có 4 KG 3 chiều phân biệt ???