Bài toán tổng bình phương các số hạng

Đây là lời giải cho 1 bài toán trong kỳ thi FPT tháng 04/2008

1^2 + 2^2 + 3^2 + .................+ n^2 = n(n+1)(2n+1)/6


Tuy nhiên, mình chưa chứng minh nó. Vậy ai có thể chứng minh nó ko?

bai nay hinh nhu minh co giai nam 11 nho khong lam la dung quy nap do ban

Ga` wa'! ca'i do' thi` ai ma` cha bi't. Mi`nh ca`n la` 1 phe'p suy dien logic kia. La`m the' na`o de co' dc dang thuc do'.

ah tai tui tuong ban chi can chung minh cai dang thuc do chu sorry

chứng minh thì được ròi nhưng vấn đề là tui cần biết tại sao nghĩa ra được công thức như thế

là vầy nè : như thầy Hải nói : cầm cái đề lên, đốt, way mấy vòng, bỏ vô ly nước uống, xong cái tự nhiên nghĩ ra 8)

ồ PH em, đã làm roài mà sao hổng nghĩ ra được vậy nè

Đợi mấy ku trả lời lâu quá. Không bít có còn ai nhớ đến bài toán này hay ko? Thoi để Tractrice đây giải đáp luôn cho
Khi nhìn Đẳng thức : 1^2+2^2+...............+n^2 (1)
ta thường liên tưởng đến một đẳng thức quen thuộc trong toán học phổ thông
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
Vậy áp dụng đẳng thức trên vào đẳng thức (1) ta được:
(1+2+...........+n)^2=(1^2+2^2+..........+n^2) + 2(1.2+2.3+..........+(n-1)n)
(để mấy ku tự CM)
Ta cũng biết 1+2+............+n = n(n+1)/2
Vậy chỉ cần tìm giá trị của: 1.2+2.3+......+(n-1)n (2) là ta tìm đc giá trị của (1)

Bài toán bây giờ là việc tính biểu thức (2)
Ta làm 1 bài toán nhỏ sau đây:
Ta gọi S(1)= 1.2+2.3+............+(n-1)n
S(2)= 1+2+............+n
=>2.S(2)=1.2+2.2+3.2+...............+n.2
S(1)-2.S(2)= 1.2+2.3+................+(n-1)(n-2) -n.2 = S(1) -(n-1)n + n.2
<=> S(2)= n(n+1)/2
Vậy từ Kết quả trên ta nhận Xét:
Nếu thay S(1) bởi S(0) = 1.2.3+2.3.4+.............+(n-2)(n-1)n và S(2)=S(1)
thì ta có thể tính đc giá trị của S(1)
Từ đó ta đc đẳng thức
S(1)= 1.2+2.3+...........+(n-1)n = n(n+1)(n+2)/3 (các ku tự CM)

Vậy quay trở lại bài toán ban đầu, ta có:


(1+2+.........n)^2 = (Đthức1) + 2(Đthức 2)
<=> (Đthức 1) = -2(Đthức 2) + (n(n+1))^2/4 = -2n(n+1)(n+2)/3 + (n(n+1))^2/4
=n(n+1)(2n+1)/6 (dpcm)

trui khuc dau con CO THE nghi ra chu khuc sao phuc tap qua sao nhin ra hay vay

khoan coi lại đã, cái dòng này
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
Vậy áp dụng đẳng thức trên vào đẳng thức (1) ta được:
(1+2+...........+n)^2=(1^2+2^2+..........+n^2) + 2(1.2+2.3+..........+(n-1)n)

hình như cái biểu thức 2(1.2+2.3+..........+(n-1)n) vấn đề đấy
(1+2+3)^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 2.(1.2+1.3+2.3)
biểu thức trên hình như còn thiếu 1.3+1.4+....1.n + 2.4+2.5+2.6+... chứ không có đơn giản là n.(n-1) đâu

Xin lỗi các ku. :lol: Do nhẫm lẫn và cũng chưa từng chứng minh nên tractrice đã bị nhầm 1 đẳng thức rất cơ bản:

(1+2+...........+n)^2=(1^2+2^2+..........+n^2) + 2(1.2+2.3+..........+(n-1)n)

Thật ra đẳng thức đúng là:
(1+2+............+n)^2=(1^2+2^2+..........+n^2) + 2.(1.(2+........+n) + 2.(3+4+........+n) + 3.(4+5+......+n) + ..................+ (n-1).n)
(Đẳng thức cũng mong các bạn CM dùm :lol: )

Do đó nếu dùng đẳng thức trên thì rất khó để tìm giá trị của biểu thức:
1.2+2.3+..........+(n-1)n

Do đó bài giải sẽ đc sửa đổi như sau:

Ta làm 1 bài toán nhỏ sau đây:
Ta gọi S(1)= 1.2+2.3+............+n(n+1)

S(2)= 1+2+............+n

=>2.S(2)=1.2+2.2+3.2+...............+n.2

S(1)-2.S(2)= 1.2+2.3+................+(n-1)n = S(1) - n(n+1)

<=> S(2)= n(n+1)/2

Vậy từ Kết quả trên ta nhận Xét: 8)

Nếu thay S(1) bởi S(0) = 1.2.3+2.3.4+.............+n(n+1)(n+2)
và S(2)=S(1)
thì ta có thể tính đc giá trị của S(1) bằng đẳng thức:

S(0) - 3.S(1) = S(0) - n(n+1)(n+2)

Từ đó ta đc đẳng thức
S(1)= 1.2+2.3+...........+n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
(các ku CM tương tự)

Vậy quay trở lại bài toán ban đầu, ta nhận thấy:
1^2+2^2+............n^2 = (1.2+2.3+..........+n(n+1)) - (1+2+.............+n)
<=> 1^2+2^2+............n^2 = n(n+1)(n+2)/3 - n(n+1)/2

<=> 1^2+2^2+............n^2 = n(n+1)(2n+1)/6 (đpcm)

Một lần nữa xin chân thành xin lỗi các ku, và cũng xin cảm ơn bạn Darkside đã quan tâm và phát hiện ra lỗ hổng của bài giải trước. Mong bạn tiếp tục đóng góp thêm cho diễn đàn.

:D