CM có vô số tam giác nhận 2 đường tròn cho trước làm "Đường tròn nội và ngoại tiếp"
Bài giải sử dụng 3 định lý (2 định lý nổi tiếng).
1. Định lý Brianchon: Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp đường tròn O.
Khi đó các đường chéo lớn AD, BE, CF đồng quy.
Định lý cũng đúng cả khi đường tròn O tiếp xúc với các cạnh khi kéo dài
(điểm tiếp xúc nằm trên đường kéo dài của cạnh)
2. Định lý Pascal: Cho A, B, C, D, E và F nằm trên đường tròn O.
Khi đó các giao điểm của các cặp cạnh (nếu tồn tại) AB và DE,
BC và EF, CD và FA nằm trên một đường thẳng.
Điều đáng chú ý là các điểm A, B, C, D, E và F chỉ phải nằm trên một
đường tròn, không nhất thiết phải theo thứ tự như thế.
Thực ra định lý Pascal được phát biểu khi 6 điểm nằm trên một đường cô-níc
(đường tròn là một đường như thế).
Đường cô-níc (hoặc gọi tắt là cô-níc) là một đường cong tạo nên bằng cách
giao một hình nón (hay chính xác hơn, là một mặt nón trong) với một mặt phẳng.
Định lý Brianchon và Pascal là tương đương.Sử dụng định lý Brianchon ta chứng minh được định lý Brianchon "ngược".
3. định lý Brianchon "ngược": Cho lục giác mà các đường chéo lớn
cắt nhau tại 1 điểm hoặc song song. Khi đó nếu tồn tại đường tròn O
tiếp xúc với 5 cạnh của lục giác hoặc với các đường kéo dài của 5
cạnh thì đường tròn O cũng tiếp xúc với cạnh thứ 6 hoặc đường kéo dài
của nó.
Chứng minh không khó, ai thích thì chứng minh, ở đây chỉ sử dụng kết quả thôi.
------------------------------
Ta giải bài toán: "Cho trước 2 đường tròn: K ngoại tiếp và k nội tiếp
tam giác ABC. Chứng mình rằng mỗi điểm của đường tròn K là
đỉnh của một tam giác nào đó mà K và k là 2 đường tròn ngoại tiếp
và nội tiếp nó"Tôi không tải được hình lên (error 80070040 ) nên bạn tự vẽ.CM.
Lấy A1 trên K, vd. trên cung AB. Từ A1 kẻ 2 tiếp tuyến với k, cắt K
tại B1 và C1. Đường tròn K ngoại tiếp A1B1C1, ta chỉ cần chứng
minh k nội tiếp A1B1C1, có nghĩa là ta phải chứng minh rằng B1C1
tiếp xúc với k.
Gọi X là giao điểm của AB và A1B1, Y - giao điểm của B1C1 và AC,
Z - giao điểm của BC1 và A1C.
Ta xét lục giác ACA1B1C1B nội tiếp đường tròn K. Từ định lý Pascal
suy ra rằng X, Y, Z nằm trên một đường thẳng. Do vậy trong lục giác
A1XBCYC1 các đường chéo XY, BC1 và CA1 cắt nhau tại một điểm Z.
Từ định lý Brianchol "ngược" suy ra rằng B1C1 tiếp xúc với đường tròn k.
---------------------------
Như đã thấy ở trên nếu 2 đường tròn là đường tròn ngoại và nội tiếp
của một tam giác nào đó thì chúng cũng là đường tròn ngoại và nội tiếp
của vô vàn tam giác khác. Tất nhiên là có vô vàn cặp 2 đường tròn mà
không là đường tròn ngoại và nội tiếp của bất cứ tam giác nào. VD.
đơn giản là 2 đường tròn đồng tâm trong đó đường tròn "nằm trong"
rất nhỏ.
Điều kiện để 2 đường tròn là đường tròn ngoại và nội tiếp của một
tam giác nào đó (và do vậy là đường tròn ngoại và nội tiếp của vô vàn)
ư? Tôi cũng chả muốn nghĩ nữa.
Điều kiện để 2 đường tròn cho trước là "Đường tròn nội và ngoại tiếp" tam giác
Giả sử 2 đường tròn cho trước là đường tròn ngoại và nội tiếp
một tam giác nào đó. Gọi tâm của chúng là L (lớn) và N (nhỏ), và bán
kính là R và r. Lấy trên L điểm A sao cho, vídụ, A, N và L nằm trên cùng
một đường thẳng (đường kính của L) và A, N nằm cùng phía so với L. Theo
như đã chứng minh ở bài trước thì 2 đường tròn L và N cũng phải là đường
tròn ngoại và nội tiếp tam giác có đỉnh là A - tam giác ABC (tam giác cân).
Chân đường cao từ A là H phải nằm ở trung điểm BC.
Gọi LN = x, góc BAL = phi ta có:AB = 2*R*cos(phi)
sin(phi) = r/(R - x) (A)
R - x + r = AH = AB*cos(phi) = 2*R*[cos(phi)]^2 (B)
Từ (A) và (B) ta có
R - x + r = 2*R*[(R - x)^2 - r^2]/(R - x)^2
=> 1 = 2*R*(R - x - r)/(R - x)^2
=> x^2 = R*(R - 2*r) (C)
Đây chính là điều kiện cần tìm. Bán kính đường tròn nhỏ (nội tiếp)
phải thoả mãn điều kiện 0 < r <= R/2 (vế trái không âm). Với 2 đường
tròn có bán kính R và r (thỏa mãn đk trên) thì tâm của chúng phải cách
nhau một đoạn x thỏa mãn (C).
Khi r = R/2 thì x = 0, điều đó có nghĩa là lúc này 2 đường tròn phải đồng tâm.
Khi r --> 0 thì x --> R. Có nghĩa là nếu đường tròn nhỏ có bán kính càng nhỏ
thì tâm của nó càng phải xa tâm đường tròn lớn.
Tiêu đề: Thêm 1 bài toán dựng hình 
Tue Apr 15, 2008 10:03 am
